1. Общая задача линейного программирования (ЗЛП) : Здесь (1) называется системой ограничений, ее матрица имеет ранг r £ n, (2) – функцией цели (целевой функцией) . Неотрицательное решение (х10, x20,…, xn0) системы (1) называется допустимым решением (планом) ЗЛП. Допустимое решение называется оптимальным, если оно обращает целевую функцию (2) в min или max (оптимум) .
2. Симплексная форма ЗЛП. Для решения ЗЛП симплекс – методом необходимо ее привести к определенной (симплексной) форме: (2`) f+cr+1xr+1 +… + csxs +… + cnxn = b0 ® min Здесь считаем r < n (система имеет бесчисленное множество решений) , случай r = n неинтересен: в этом случае система имеет единственное решение и если оно допустимое, то автоматически становится оптимальным.
В системе (1`) неизвестные х1, х2,…, хr называются базисными (каждое из них входит в одно и только одно уравнение с коэффициентом +1) , остальные хr+1,…, xn – свободными. Допустимое решение (1`) называется базисным (опорным планом) , если все свободные неизвестные равны 0, а соответствующее ему значение целевой функции f(x10,…, xr0,0,…, 0) называется базисным.
В силу важности особенностей симплексной формы выразим их и словами: а) система (1`) удовлетворяет условиям: 1) все ограничения – в виде уравнений; 2) все свободные члены неотрицательны, т.е. bi ³ 0; 3) имеет базисные неизвестные; б) целевая функция (2`) удовлетворяет условиям: 1) содержит только свободные неизвестные; 2) все члены перенесены влево, кроме свободного члена b0; 3) обязательна минимизация (случай max сводится к min по формуле max f = – min(-f) ) .
3 Матричная форма симплекс-метода. Симплексной форме ЗЛП соответствует симплекс – матрица: 1 0… 0… 0 a1, r+1… a1s… a1n b1 0 1… 0… 0 a2, r+1… a2s… a2n b2
0 0… 1… 0 ai, r+1… ais… ain bi
0 0… 0… 1 ar, r+1… ars… arn br 0 0… 0… 0 cr+1… cs… cn b0 Заметим, что каждому базису (системе базисных неизвестных) соответствует своя симплекс – матрица, базисное решение х = (b1, b2,…, br, 0,…, 0) и базисное значение целевой функции f(b1, b2,…, br, 0,…, 0) = b0 (см. Последний столбец!) .
Критерий оптимальности плана. Если в последней (целевой) строке симплекс-матрицы все элементы неположительны, без учета последнего b0, то соответствующий этой матрице план оптимален, т.е. сj £ 0 (j = r+1, n) => min f (b1,…, b2,0,…, 0) = b0.
Критерий отсутствия оптимальности. Если в симплекс-матрице имеется столбец (S-й) , в котором последний элемент сs > 0, a все остальные элементы неположительны, то ЗЛП не имеет оптимального плана, т.е. сs > 0, ais £ 0 (i= 1, r) => min f = -¥.
1 2 3 4 5Аппаратные средства на RISC- платформе
Что такое информационная технология?